Napjaink középiskolai geometria tananyagának jó részét megtalálhatjuk Eukleidész Elemek című művében. A geometria gyakorlati hasznát senki nem vitatja, ezen túl azonban ókori görögök a geometria tanításának esztétikai fontosságot is tulajdonítottak. Tanításuk szerint mint ahogy a gyerekek néhány különböző építőkockából a legkülönfélébb építményeket alkotják meg, a matematikusok hasonló elven alapfogalmakból és alaptételekből rakosgatják össze a legkülönfélébb, és sokak szerint egyre bonyolultabb tételeket.
A geometria Lego-kockái
Ez az analógia érvényes az egész euklideszi geometriára is, amely tételek ezreit jelenti, mégis csak néhány különböző építőkockából rakták össze.
Az építőkockákat "Euklidesz-i axiómáknak" hívjuk.
- E-1: Bármely két ponton át pontosan egy egyenes fektethető.
- E-2: Bármelyik szakasz bármelyik irányba végtelenül meghosszabbítható.
- E-3: Bármely középponttal és bármekkora sugárral kör rajzolható. (Ebből adódik, hogy nincs sem felső, sem alsó határa a távolságoknak. Másképp fogalmazva, bármilyen nagy távolságnál van nagyobb és bármilyen kicsi, de nullánál nagyobb távolságnál van kisebb.)
- E-4: Ha két egyenes úgy metszi egymást, hogy az egymás melletti szögek egyenlők, akkor ezen szögek bármelyike egyenlő minden más szöggel, amit ugyanígy hozunk létre. (Bármely két derékszög egyenlő.)
- E-5: Ha adott egy egyenes és egy rajta kívüli pont, akkor egy és csak egy, a ponton átmenő egyenes létezik, amelyik párhuzamos az adott egyenessel. (Ez a párhuzamossági axióma.)
Mit is értünk euklideszi szerkesztés alatt?
A három ókori probléma szerkesztéssel való megoldásaiban csak a következő lépéseket teheti meg a probléma megoldója.
- Két egyenes metszéspontjának a kijelölése.
- Két kör metszéspontjának a kijelölése.
- Egyenes és kör metszéspontjának a kijelölése.
- Két ponton át egyenes rajzolása.
- Két pont távolságának körzőnyílásba vétele és ezzel adott vagy már megszerkesztett pontból mint centrumból kör rajzolása.
A fenti öt lépést felhasználva építhető fel az az eljárás, amelynek a végeredménye a feladat megoldása vagy a tétel bizonyítása.
A szerkesztés során a következő adatokat használhatja a feladat megoldója: az adott síkban adott pontok, egyenesek és körök. Ezek felhasználásával származtathatóak a szükséges elemek körző és egyélű vonalzó felhasználásával!
A feladatok megoldása során azonnal felvetődik a kérdés: A tárgyalt feladatok egyáltalán megoldhatók-e euklideszi szerkesztéssel?
Mit nem tehetünk, ha euklideszi módon akarunk szerkeszteni?
Nem rajzolhatunk kört tetszőleges nyílású körzőnyílással; a kör sugara mindig adott vagy az adatokból megszerkeszthető távolság kell hogy legyen!
A szerkesztési feladatot akkor tekintjük megoldottnak, ha meg tudunk adni egy, a keresett alakzatot előállító, véges számú lépésből álló általános eljárást, algoritmust.
Az eljárás egy adott szerkesztési feladat bármilyen konkrétan megadott adatsora esetén legyen alkalmazható, és természetesen az euklideszi szerkesztés öt lépését lehet csak használni.
A három ókori feladat jelentősége az is volt, hogy a megoldásukra indított kutatások sokirányú fejlődést indítottak el a matematikában.
Zsigó Zsolt cikke
