Keressük a szélsőértéket!
2014/04/04 12:59
3934 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

A matematika hasznosságáról mindig sokat vitatkoznak az emberek. A gazdasági életben viszont biztosan nincs arról vita, hogy a matematika nélkül nagyon nehezen lehetne gazdaságosan termelni. A termék megszületése előtt akár bonyolult matematikai számítások is segíthetik a tervezőket a minél gazdaságosabb anyagfelhasználásban.

Egy gyárban 1 m2-es fémlemezből nyitott dobozokat szeretnének gyártani. Az alapanyag négyzet alakú lemez. A rajz szerint a lemeznek mind a négy sarkából ki kell vágni egy-egy x oldalú négyzetet, és az így keletkezett téglalapokat felhajtani.

dobozka

A tervezők célja az, hogy a doboz V térfogata a lehető legnagyobb legyen. Ezt a legnagyobb értéket nevezik legkedvezőbb értéknek, a matematikában ez a szélső érték.

Mitől függ a térfogat? Mitől függ az, hogy egy adott méretű lemezből a legnagyobb térfogatú dobozt tudjunk készíteni? A négy sarokból levágott négyzet nagyságától biztosan függ. De hogyan?

Ha az nagyon kicsi, akkor a doboz lapos lesz, és nagy lesz az alapterülete, míg ha nagyon nagy, akkor az alapterület kicsi, és a doboz magas lesz. Ha a kis négyzet oldalának hossza x= 1/2 m, akkor a doboz térfogata nulla.

A feladat megfogalmazása a következő: A sarok négyzet oldalának összes lehetséges értékei (x= 0, ..., 1/2) közül azt az xK értéket keressük, amelyre a doboz VK térfogata a legnagyobb.

Hogyan tudjuk az értéket megkeresni? A legegyszerűbb az, hogy minden x - értékre (x= 0,10m, …, 0,20 m stb.) kiszámíthatjuk a V térfogat értékét, és így egyre jobban megközelíthetjük a legnagyobb értéket. Ez a módszer biztosan eredményre vezet, de nagyon sokáig tartana.

A matematikát tudatosan használók másképpen kezdenek hozzá a feladat megoldásához. Nem találgatni kezdenek, hanem a keresett V térfogatot felírják a saroknégyzet x oldalának függvényeként, és ezután keresi meg a kérdéses és egyetlen xK értéket.

A maximális térfogat meghatározása

A V térfogat kiszámítása ismert egy téglatest esetén: V= szélesség*hosszúság*magasság.

A fenti ábra jelöléseinek megfelelően:

V(x) = (1 - 2x)* x = 4x- 4x+ x

A függvényt ábrázolva:

dobozfv

Jól látható, hogy x=1/2 esetén a függvény értéke 0, és az is látszik, hogy 0 és 1/2 között lokális maximuma van a függvénynek. Mennyi lehet ez a maximumérték, és hol veszi fel a függvény ezt az értékét?

Nehezen, és esetenként pontatlanul olvasható le, ezért más módszerhez kell folyamodni.

Ahol a függvény első deriváltja 0, ott a függvénynek szélsőértéke van, ezért keressük meg az első deriváltat:

V' (x) = 12x- 8x + 1

Oldjuk meg a 12x- 8x + 1 = 0 egyenletet!

x1,2 = 8 ± √ 64 - 4 * 12 * 1 = 8 ± 2/24

A két gyök:

x= 1/2
x= 1/6

Az első gyököt behelyettesítve a legkisebb (V=0) térfogat értéket kapjuk, ez a minimum.

A második gyököt behelyettesítve, a legnagyobb térfogat értéket kapjuk, az a maximum.

V(1/6) = ( 1 - 2 * 1/6)* 1/6 = 2/27 = 0,074m3

A doboz legnagyobb térfogat értéke tehát, 0,074 m3, azaz 74 liter!

Más szélsőérték feladatok:

  1. Keressük az adott térfogatú doboz esetén a lehető legkisebb lemezfelületet, amelyből a doboz előállítható!
  2. Ha egy szabályos négyzet alapú gúla sátrat állítunk fel, hova helyezzük el a négy sátorrudat, hogy a lehető legnagyobb térfogatú sátrat kapjuk?
  3. A vízszinteshez képest milyen szögben állítsuk be az ágyú csövét, hogy a legmesszebbre lőjön?

További érdekes oldalak:

Zsigó Zsolt cikke

Kapcsolódó oldalak

Scientix A természettudományos oktatás közössége
All you need is code Minden a kódolás tanulásáról
A National Geographic A National Geographic honlapja.
Interpress Magazin Az IPM honlapja archívummal
Világtudomány.hu A magyar és nemzetközi tudományos élet hírei
Űr világ Asztronautikai hírportál

Csoportot ajánlunk