Kombinációk az ultiban
2013/11/01 08:00
2620 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

Az egyik legismertebb magyar kártyajáték az ulti. Ha nézünk egy kártyapartit, meglepő dolgokat hallhatunk közben: kontra, rekontra, szubkontra, mordkontra, hirschkontra, Fedák Sári, Kerekes bicikli... Gondolnátok, hogy matematikailag is érdemes górcső alá venni a dolgot?

Az egyik legnépszerűbb kártyajáték hazánkban az ulti. A játékhoz magyar kártya szükséges, és hárman játsszák, de természetesen extrém helyzetek is előfordulhatnak, amikor csak két fő játssza a játékot. Ez a népnyelv által rendőrultinak nevezett szituáció, hiszen a rendőrök párban járőröznek.

Mi van a pakliban?

n_magyar-kartya-12-csomag_375_2

A pakliban 32 lap van: 8 tök, 8 makk, 8 piros és 8 zöld. Minden színből az alábbi figurák léteznek: ász, király, felső, alsó, 10-es, 9-es, 8-as, 7-es. A játékosok mindegyike 10-10 lapot kap, a megmaradó két lap lesz a talon.

Ha azt szeretnénk megtudni, hogy ez a 32 kártya hányféle módon osztható ki a versenyzők között, akkor a kombinatorika siet a segítségünkre:

ulti

Ezen tört értékét kell kiszámítani. A 2!, 10!, 32! kifejezések a faktoriálisok, vagyis az egymást követő természetes egész számok szorzatai 1-től 2-ig, 1-től 10-ig és 1-től 32 -ig.

Ha elvégezzük ezt a számítást, akkor a következő számot kapjuk eredményül:

2 753 294 408 504 640.

A szám nagyságát nem biztos, hogy rögtön meg tudjuk ítélni. Próbáljuk végiggondolni a következő gondolatmenetet: hárommilliárd ember üljön le hármas csoportokban ultizni és szünet nélkül játssza a partikat, éjjel és nappal, folyton-folyvást, és minden játszmát öt perc alatt fejezzen is be. Ahhoz, hogy a föntebb látható összes lehetséges kártyakombinációt végigjátssza, csaknem harminc évre lenne szükség!

A kártyák varázslatos világa a matekon keresztül

Hányféleképpen fordulhat elő az ultiban, hogy a kapott 10 lap között pontosan 4 piros, 5 zöld és 1 ász van?

A pakliban 32 lap van: 8 tök, 8 makk, 8 piros és 8 zöld. Minden színből az alábbi figurák léteznek: ász, király, felső, alsó, 10-es, 9-es, 8-as, 7-es.

Megoldás

Vegyük észre, hogy 4 piros, 5 zöld és 1 ász nem feltétlenül 10 lapot takar (pl. a piros ász - piros is és ász is)! Így három eset lehetséges:

  • nálunk van a zöld ász;
  • nálunk van a piros ász;
  • egyik sincs nálunk;

Az első esetben nálunk van:

  • 4 piros, ezek közül egyik sem ász;
  • 5 zöld, ezek közül az egyik az ász;
  • végül 1 nem piros, nem zöld és nem ász lap.
  • 4 piros, nem ász 74 féleképpen választható ki.
  • Az 5 zöld közül egy az ász, a maradék 4 lap 74 féleképpen választható ki.
  • A maradék egy lapot a pakli nem piros, nem zöld és nem ász lapjai közül kell kiválasztanunk (ez 32−8−8−2=14 lap), tehát 141 féleképpen választható ki.

Összesen: 74*74 *141=17150.

Teljesen hasonlóan, ha a piros ász van nálunk:

  • 4 piros, ebből egy ász, a többi 3 lap 73 -féleképpen választható ki.
  • 5 zöld, egyik sem ász 75 -féleképpen választható ki.
  • A maradék egy nem piros, nem zöld, nem ász lap 141-féleképpen választható ki.

Összesen: 73*75*141=10290.

A harmadik esetben, ha sem a piros, sem a zöld ász nincs nálunk:

  • a piros lapok 74 -féleképpen választhatók ki;
  • a zöld lapok pedig 75 -féleképpen (ugyanis a piros ász és a zöld ász nem választható ki).
  • A maradék lapnak ásznak kell lennie, tehát kétféle lehet (tök vagy makk)

Összesen: (74)*(75)*2=1470.

A három esetet összegezve:

(74)*(74)*(141)+(73)*(75)*(141)+(74*75)*2=28910

További érdekes oldalak:

Zsigó Zsolt cikke

Kapcsolódó oldalak

Scientix A természettudományos oktatás közössége
All you need is code Minden a kódolás tanulásáról
A National Geographic A National Geographic honlapja.
Interpress Magazin Az IPM honlapja archívummal
Világtudomány.hu A magyar és nemzetközi tudományos élet hírei
Űr világ Asztronautikai hírportál

Csoportot ajánlunk