Mit sejtett meg Goldbach?
2013/12/12 08:00
1781 megtekintés
A cikk már legalább egy éve nem frissült, az akkor még aktuális információk lehet, hogy mára elavultak.

A matematikában számos megoldatlan, nevezetes probléma van. Ezek közül vannak olyanok, amelyeket még a ókori matematikusok találtak. Az újabb keletű  Goldbach-sejtés egyike a számelmélet legrégebbi, megoldatlan problémájának.

Goldbach német matematikus 1742-ben írta Euler-nek, hogy szerinte minden 5-nél nagyobb természetes szám előállítható három prímszám összegeként. Euler válaszában leírta, hogy ennek bizonyításához elegendő lenne belátni, hogy minden páros szám felbontható két prímszám összegére. Ez az ún. Goldbach-sejtés. Például 12=7+5; 20=7+13; 98=19+79; stb.

Könnyen érthető formájában azt állítja, hogy minden kettőnél nagyobb páros szám két prím összege.

letter_goldbaxh-euler

Nagyon egyszerűnek tűnik ez a kis rövid mondat, amelynek bizonyítása eddig kifogott a matematikusokon. Az elmúlt évtizedek alatt sok részeredmény született. Természetesen ezek között vannak magyar matematikusok, például Rényi Alfréd, és Pintz János. A Goldbach-sejtés megoldására jelentős pénzdíjat is kitűztek, de ez sem hozott áttörést.

Mi is az a prímszám?

A számelmélet a matematika egyik részterülete. Vizsgálatának tárgya az egész számok, amelyeken az összeadás, a kivonás, és a szorzás művelete elvégezhet, de az osztás nem. Fő célterülete az oszthatóság vizsgálata, és ehhez két hatalmas fegyver áll rendelkezésére, az egyik a prímszámok, míg a másik a maradékok.

Prímszámnak (másik nevén törzsszámnak) nevezzük azokat a pozitív egész számokat, amelyek az egyen és önmagán kívül nincs más osztója.
Ekkor sokakban felmerül a kérdés, mi van vajon az 1-gyel? Hiszen az egynek csak egyetlen osztója van, önmaga.

A pontos matematikai definició tehát: a pramszám olyan pozitív egész szám, amelynek pontosan két pozitív osztója van.

Valamennyi egynél nagyobb szám vagy prím, vagy összetett szám.

Végtelen sok prímszám van. Erre a tételre Euklidesz adott egy olyan bizonyítást, amely sokak szerint az egyik legszebb bizonyítás. Eratosztenész pedig megalkotta azt a szitát, amelyen a prímszámok fennakadnak, megtalálhatjuk őket.

Erőfeszítések a sejtés megoldására

1931-ben egy orosz matematikus, Snyirelman bebizonyította, hogy minden természetes szám előállítható véges számú prímszám összegeként.

Később ezt a bizonyítást továbbfejlesztették, és igazolták, hogy minden természetes szám előállítható 7 prímszám összegeként.

Ez azonban még mindig nagyon messze van attól, amit Goldbach sejtett meg, hogy minden 5-nél nagyobb természetes szám előállítható 3 prímszám összegeként.

A második sejtést Vinogradov orosz matematikus 1937-ben részben bebizonyította, és a magyar Rényi Alfréd 1947-ben tette meg a következő nagy lépést a bizonyítás felé.

Születtek eztuán is eredmények (Atle Selberg, Theodor Estermann, és sokan mások), de áttörtést nem hozott egyik sem.

A XX. század második felében a digitális számítógépek kezdtek helyet követelni maguknak a matematika eszköztárába kerüléshez. Ez meggyorsította a páros Goldbach-sejtés számolással történő igazolását.

Kétségek

A sejtés általános matematikai bizonyítása, vagy cáfolata még napjainkban sem született meg, hiába tűztek ki jelentős pénzdíjat a megfejtőnek. Sok számelmélettel foglalkozó kutató matematikus azt állítja, hogy a bizonyítás megalkotása teljesen reménytelen!

További érdekes oldalak: 

Zsigó Zsolt cikke

Csatlakozz hozzánk!

Kapcsolódó oldalak

Scientix A természettudományos oktatás közössége
All you need is code Minden a kódolás tanulásáról
Go Lab Laboratóriumok online
CodeWeek A Kódolás Hetének honlapja
Jövő osztályterme Modern tanulási környezetekről a Sulineten

Csoportot ajánlunk